1. а) Найдите число сторон выпуклого многоугольника, у которого число диагоналей в 2 раза больше числа сторон.
    b) Число диагоналей в 6 раз больше числа сторон. Сколько диагоналей выходят из одной вершины этого выпуклого многоугольника ?

    Исследование 1. Заполните нижеприведенную таблицу. Напишите формулу для вычисления суммы внутренних углов выпуклого n- угольника.

    Количество сторон
    многоугольника    		 3 4 5 6 7 ... n
    Диагонали, исходящие
    из одной вершины    		 0 1 ...
    Количество треугольников 1 2
    Сумма внутренних углов 1⋅180°
    180°    		 2⋅180°
    360°

    Исследование 2. На листе бумаги нарисуйте выпуклый многоугольник, закрасив внешний угол при каждой вершине, как показано на рисунке. Вырежьте внешние углы и приклейте на другую бумагу так, чтобы, не прикрывая друг друга, все вершины были в одной точке. Выразите свое мнение о сумме всех внешних углов.

Сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника

Теорема 1. Сумма внутренних углов выпуклого n ‐ угольника (n ≥ 3) равна 180° • (n - 2) .
Доказательство: Теорема верна при n=3. Рассмотрим случай n>3, из одной вершины n – угольника можно провести диагонали в количестве n – 3. Эти диагонали делят его на треугольники в количестве n – 2. Сумма внутренних углов многоугольника равна сумме углов треугольников. Исходя из того, что сумма углов каждого треугольника 180°, сумма внутренних углов многоугольника будет 180° • (n - 2).
Следствие: Каждый внутренний угол правильного n ‐ угольника равен
180° • (n - 2)
n
Теорема 2. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.
Сумма внешних углов = сумма развернутых углов - сумма внутренних углов:
180°⋅n -180°(n - 2) = 180°n - 180°n + 360° = 360°
Следствие 2. Каждый внешний угол правильного n- угольника равен 360°
n.