Трехчлены
a2 + b2 + 2ab
и a2 + b2 - 2ab
называются полными
квадратами.
Чтобы возвести число в квадрат или в куб необходимо это число умножить на себя два или три раза. Это правило выполняется и для буквенных выражений.
Исследуем как перемножить два одинаковых двучлена.
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b =
= a2 + ab + ab + b2 = a2 +2ab+ b2.
Таким образом, (a + b)2 = a2 + 2ab+ b2.
(a-b)2 = (a-b) (a -b) =a ⋅ a + a ⋅ (-b) + (-b) ⋅ a + (-b) ⋅ (-b) =
= a2 - ab - ab + b2 = a2 -2ab+ b2.
Таким образом, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
Проведённые исследования привели к формулам квадрата двучлена:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab - квадрат суммы двух выражений равен сумме их квадратов плюс удвоенное произведение этих выражений.
(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab - квадрат разности двух выражений равен сумме их квадратов минус удвоенное произведение этих выражений.
(5 + 3x)2;
(0,2x - 1 ,5y)2
(5 + 3x)2 = 52 + (3x)2 + 2 ⋅ 5 ⋅3x = 25 + 9x2 + 30x.
(0,2x - 1,5y)2 = (0,2x)2 +
(1,5y)2
- 2 ⋅ (0,2x) ⋅ (1,5y)
= 0,04x2 + 2,25y2- 0,6xy.
(x + 4)2;
(3 - a)2;
(1- 2x)2;
(a + 5)2;
(b - 7)2.
(5y - 3x)2;
(7p - k)2;
(0,6 + 2x)2;
(0,3a - 4x)2;
(12 + 8k)2;
(0,2m +5nb)2;
(10c + 0,1b)2;
(
1
3
x - y)2;
(12a-0,3c)2.