Исследование: | выпишем все возможные делители чисел 45 и 60: |
Делители числа 45: 1, 3, 5, 9,15,45
Делители числа 60: 1, 2, 3,4, 5, 6, 10, 12, 15,20, 30, 60.
Найдём общие делители этих чисел: 1, 3, 5, 15.
Число 15 является наибольшим из общих делителей. Т.е. наибольшим общим делителем чисел 45 и 60 является 15.
Самое большое натуральное число, на которое делятся без остатка все заданные числа, называется наибольшим общим делителем этих чисел.
Наибольший общий делитель a и b записывается, как НОД(a; b) .
Читается: наибольший общий делитель чисел a и b.
Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя:
Образец: Найдите НОД(168; 196) .
Решение: Разложим числа на простые множители: 168=2⋅2⋅2⋅3⋅7 и 196=2⋅2⋅7⋅7. Как видим, общие множители 2 и 7. Так как в разложении первого числа меньше всех встречается множитель «7», а в разложении второго числа – множитель «2», то наибольший общий делитель состоит из двух «2» и одной «7». Тогда НОД (168; 196)= 2⋅2⋅7=28.
Натуральные числа, не имеющие общего делителя, кроме единицы 1, называются взаимно простыми числами.
Наибольший общий делитель взаимно простых чисел равен 1.
Например: НОД(18; 25) = 1; НОД(35; 44) = 1.
Два последовательных натуральных числа взаимно простые, т.е. их наибольший общий делитель равен 1. Например: НОД(39; 40) = 1. (т.к. 39 = 3⋅13 и 40 = 2⋅2⋅2⋅5)
Два последовательных нечётных числа тоже взаимно простые. НОД(21; 23) = 1.
Если одно из чисел является делителем другого, то оно также является наибольшим общим делителем этих чисел. Например: НОД(9; 3) = 3; НОД(32; 64) = 32.
Внимание! Наибольший общий делитель натуральных чисел не может быть больше наименьшего из этих чисел.
1. Найдите: |
a) НОД(70; 175); г) НОД(63; 84); |
б) НОД(23; 25); д) НОД(48; 72; 120); |
в) НОД(45; 75; 105); е) НОД(24; 25). |