Уравнения. Системы уравнений
В этом разделе вы научитесь
✔ Решать уравнения высших степеней
✔ Решать рациональные уравнения и задачи, приводящие к ним
✔ Решать уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
✔ Решать иррациональные уравнения
✔ Решать системы уравнений
✔ Решать задачи с помощью уравнений и систем уравнений
5-1 |
Уравнения высших степеней |
Алгебраическим уравнением n-ой степени с одной переменной называется
уравнение anxn + an - 1 xn -1 + ... + a1x + a0 = 0, левой частью которого
является многочлен n-й степени от х, а правой - нуль, при (an ≠ 0 ).
Например, x3 - x2 + 3x - 2 = 0 - уравнение 3-й степени,
3x4 - 2x3 - 3x2 + x - 4 = 0 - уравнение 4-й степени.
Формулы для нахождения корней уравнений третьей и четвертых
степеней известны, однако эти формулы очень сложные.
✔ Метод разложения на множители
Уравнения высокой степени удобно решать, применяя определенные методы. Одним из таких методов является метод разложение на множители.
Пример. Решите уравнение x3 - x2 - 4x + 4 = 0 .
Решение. Разложим левую часть на множители, сгруппировав члены
как показано ниже:
(x3 - x2) - (4x - 4) = 0; x2(x - 1) - 4(x - 1) = 0; (x2 - 4)(x - 1) = 0;
(x - 2)(x + 2)(x - 1) = 0.
Для того, чтобы произведение было равным нулю, необходимо,
чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю. Поэтому x- 2 = 0 или x + 2 = 0 или x - 1 = 0. Отсюда x1 = 2; x2 = -2; x3 = 1.
Обучающие задания
a) x3 - 27 = 0;
d) 5x3 + 40 = 0
b) 16 x3 = -2
e) x4 - 1= 0;
c) x3 - 64 = 0;
f) 16x4 = 81;