Пример. Компания мобильного оператора старается расположить передающую
станцию так, чтобы обслуживать
больше пользователей. Представим, что три
больших города находятся в точках О(0; 0),
B(4, 8), C(12; 0). На координатной плоскости
1 единица равна расстоянию в 100 км. Передающая
станция должна быть расположена
в точке, находящейся на одинаковом
расстоянии от этих городов. Напишите координаты
этой точки и уравнение соответствующей окружности.
Решение. Вначале соединим заданные точки отрезками и найдем точку
пересечения серединных перпендикуляров сторон полученного треугольника.
Уравнение серединного перпендикуляра будет x = 6, при расположении
отрезка ОС на оси абсцисс и средней точки (6; 0). Угловой
коэффициент прямой линии, содержащей отрезок ОB равен
k = 8 - 0
4 - 0 = 2, угловым коэффициентом серединного перпендикуляра будет - 1
2 При
средней точке (2; 4) отрезка OB уравнение серединного перпендикуляра
будет y - 4 = - 1
2(x - 2), т.е. y = - 1
2x + 5. Прямые x = 6 и y = - 1
2x + 5 пересекаются
в точке (6; 2), (проверьте сами). Эта точка будет центром окружности,
которая показывает расположение станции.
Расстояние между центром и любой из заданных точек равно радиусу окружности :
Уравнение окружности: (x - 6)2 + (y - 2)2 = , (x - 6)2 + (y - 2)2 = 40
Начертите рисунок в тетради. Напишите уравнение окружности, проходящей через три отмеченные точки, и постройте окружность.
a) Покажите, что уравнение
(x - 2)(x - 6) + (y- 5)(y - 11) = 0
является уравнением окружности.
b) Покажите, что уравнение окружности с координатами концов диаметра (a; b) и (c; d) можно представить в виде:
(x - a)(x - c) + (y- b)(y - d) = 0.