Пример 3. Если цена одной спортивной рубашки 8 манат, то магазин продаст
10 рубашек в день. Владелец магазина считает, что снижение цены
одной рубашки каждый раз на 2 маната может привести к ежедневному
увеличению продажи рубашек на 5 штук. Какова должна быть цена рубашки,
чтобы поступление от продажи было максимальным?
Решение.
1. Примем число снижений цен на 2 маната за х. Тогда цена одной
рубашки будет (8 - 2x).
2. Количество рубашек, проданных ежедневно, будет (10 + 5x).
3. Прибыль от продажи = цена одной рубашки × количество рубашек.
S(x) = (8 – 2x)(10 + 5x) = 80 + 40 x – 20x – 10 x2 = –10 x2 + 20 x + 80
Функция S(x) = –10 x2 + 20 x + 80 выражает поступление от продажи.
Выделив полный квадрат функцию запишем в виде S(x) = -10(x – 1)2 + 90.
При х = 1 функция S(x) принимает наибольшее значение равное 90.
Значит, если одна спортивная рубашка продается за 8 – 1 ⋅ 2 = 6 манат, то ежедневное
поступление от продажи будет максимальным и составит 90 манат
(если расчеты владельца магазина верны).
Обучающие задания