Построение графика функции y = ax2 + bx + c
Любая квадратичная функция вида y = ax2 + bx + c может быть представлена в виде y = a(x - m)2 + n выделением полного квадрата. Действительно,
1. Пример. Выделением полного квадрата определите координаты точки
вершины и уравнение оси симметрии параболы y = -2x2 + 4x + 3
Решение. y = -2x2 + 4x + 3 = -2 ⋅ (x2 - 2x) + 3 =
-2 ⋅ (x2 - 2x +1-1) + 3 =
= -2 ⋅ ((x - 1)2 - 1) + 3 =
-2 ⋅ (x - 1)2 + 2 + 3 = -2 ⋅ (x - 1)2 + 5
График этой функции можно получить перемещением на 1 единицу направо и на 5 единиц вверх график функции y = -2x2. Значит, точка вершины параболы является (1; 5), уравнение оси симметрии будет: x = 1.
2. Пример. Задана функция y = 0,5 x2 - x - 1,5.
a) Напишите координаты точки вершины параболы.
b) Напишите уравнение оси симметрии.
c) Определите координаты точки пересечения параболы с координатными
осями.
d) Постройте параболу.
Решение. a) a = 0,5; b = -1; c = -1,5;
D = b2 - 4ac = (-1)2 - 4 • 0,5 • (-1,5) = 4,
подставив значения в формулы для m и n,
m = -b
20 = 1
2•0,5 = 1;
n = -D
4a = -4
4•0,5 = -2. Точка вершины (1; –2)
b) Уравнение оси симметрии: x = 1