2-4 |
Касательная к окружности |
Определение. Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью, называется касательной.
Теорема 1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Прямая l касательная к окружности.
l ⊥ AO
Обратная теорема (признак касательной): Прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, является касательной окружности.
Доказательство теоремы 1. Если прямая l – касательная к окружности, значит, она имеет единственную общую точку с окружностью. Допустим, что прямая l не перпендикулярна радиусу OA. Проведем OB ⊥ l и на прямой l выделим отрезок AB =BC. Тогда OC=OA=r, так как ΔAOB ≅ ΔCOB по признаку СУС. Значит, точка C также находится на окружности. То есть прямая l имеет с окружностью две общие точки, что противоречит условию. Значит, l ⊥ OA.
Прямая, касающаяся обеих окружностей, называется общей касательной этих окружностей. Окружности, касаясь друг друга изнутри или извне, могут иметь общую касательную в одной точке. Также окружности могут касаться одной касательной в разных точках.
Две окружности могут иметь несколько общих касательных, или вообще не иметь общих касательных.