Теорема о хордах, находящихся на одинаковом
расстоянии от центра окружности
Теорема 3. Конгруэнтные хорды окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
Если AB ≅ CD, OE ⊥ AB, OF ⊥ CD, то OE ≅ OF
Обратная теорема 3. Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра окружности, конгруэнтны.
Доказательство теоремы 3
Дано: Окружность с центром O, AB ≅ CD,
OE ⊥ AB, OF ⊥ CD
Докажите: OE ≅ OF
Доказательство (текстовое): Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит хорду и стягивающую ею дугу пополам. OE и OF - серединные перпендикуляры конгруэнтных хорд AB и CD. EB ≅ FD, так как они являются половиной конгруэнтных хорд. Начертим радиусы окружности OB и OD: OB ≅ OD. Прямоугольные треугольники, ΔOEB и ΔOFD конгруэнтны (по катету и гипотенузе). Так как OE и OF являются соответствующими сторонами данных треугольников, то они конгруэнтны: OE ≅ OF. Теорема доказана.
Пример. Хорды AD и BC находятся на одинаковом расстоянии
от центра окружности: OE=OF=9. Если радиус
окружности равен 41 единице, то найдите AD и BC.
Решение: Так как хорды AD и BC находятся на одинаковом
расстоянии от центра, то они конгруэнтны: AD ≅ BC.
Начертим радиусы OA и OB. Поскольку OE ⊥ AD и OF ⊥ BC
то ΔAEO и ΔBFO прямоугольные треугольники.
Для ΔAEO по теореме Пифагора получаем:
AE2 + OE2 = OA2.
AE2 + 92 = 412; AE2 = 1600; AE = 40; AD = 2 • AE = 2 • 40 = 80.
Так как AD ≅ BC, то BC = 80.