Вычисление вероятности с примененем формул комбинаторики
Во многих задачах для нахождения количества возможных и количества благоприятных исходов приходится применять формулы комбинаторики.
1. Пример. Из 6-ти дисков, находящихся в коробке, на которой нет никакой информации, два - с народной музыкой, два - с джазовой, два - с эстрадной. Какова вероятность того, что из случайно выбранных двух дисков первый будет с джазом, а второй с эстрадой?
Решение. По принципу умножения число благоприятных исходов 2⋅2,
потому что имеется два эстрадных и два джазовых диска. Число возможных
результатов выбора двух дисков из 6-ти: 6P2
P(джаз, эстрада) = 2 ⋅ 2
6P2 = 2 ⋅ 2
6 ⋅ 5 = 4
6 ⋅ 5 = 2
15
Ответ: вероятность того, что первый диск джаз, а второй эстрада 2
15.
2. Пример. В мешочке 12 теннисных мячей, из которых 4 с дефектом. Из мешка наугад извлекаются два шара. Какова вероятность того, что оба шара будут с дефектом?
Решение. Число возможных результатов равно 12C2 . В данном случае число благоприятных исходов равно 4C2
P(2 дефектных) = число благоприятных исходов
число возможных результатов = 4C2
12C2
4C2 = 4P2
2! = 4 ⋅ 3
2! = 6,
12C2 = 12P2
2! = 12 ⋅ 11
2 = 66
P(2 дефектных) = 6
66 = 1
11
3. Пример. В урне 5 красных и 3 голубых шара. Наудачу вынимаются 2 шара. Какова вероятность того, что хотя бы один из вынутых шаров будет красным.
Решение. Обозначим Е событие, когда один из вынутых шаров красный. Однако нахождение числа возможных вариантов одного красного шара утомительно. Сначала мы найдем вероятность Eʹ, дополняющую это событие - из 2-х шаров ни один не является красным, т.е. событие, что оба шара будут голубыми. В этом случае число благоприятных исходов: 3C2. Число возможных исходов: 8C2
Вероятность события Е: P(E) = 1 - P(Eʹ) = 1 - 3
28 = 25
28 ≈ 0,89