Практическое задание. На картине даны шаги деления на части круга по определенному
правилу. а) Представьте это правило словами.
b) Можно ли по этому правилу закончить деление круга на маленькие части?
c) Выразите круг через сумму его частей. Исследуйте применение формулы суммы n-первых членов геометрической прогрессии.
d) сравните с нулем значение с (1
2)n увелечением n.
e) Объясните данный график соответственно ситуации. По графику представьте свои рассуждения о Sn → 1, при n → ∞.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Бесконечную геометрическую прогрессию при |q| < 1 называют бесконечно
убывающей геометрической прогрессией. Преобразуем формулу суммы
n - первых
членов геометрической прогрессии следующим образом.
Sn = b1(qn - 1)
q - 1 = b1 - b1qn
1 - q = b1
1 - q - b1
1 - q ⋅ qn
Если |q| < 1, то с бесконечным ростом “n” множитель qn, а значит и b1
1 - q ⋅ qn приближаются к нулю. Поэтому с ростом n до бесконечности
сумма Sn приближается к числу b1
1 - q. Число b1
1 - q называется суммой
бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Если обозначить эту сумму через S, то получим: S = b1
1 - q,
(|q| < 1)