Исследование. Напишем восемь первых членов какой-либо геометрической прогрессии. Например, при b1 = 3, q = 2, эти члены будут как в таблице:
Свойства геометрической прогрессии
Свойство 1. В геометрической прогрессии квадрат каждого члена кроме первого (и последнего в случае конечной прогрессии) равен прозведению соседних с ним членов.
Из определения геометрической прогрессии
b2
b1
= b3
b2 = b4
b3 = ........ = bn
bn-1 = bn+1
bn
Взяв попарно эти равенства, имеем: b22 = b1 · b3, b32 = b2 · b4, ........... , bn2 = bn – 1 · bn + 1
Верно и обратное: Если в последовательности ненулевых чисел, квадрат
каждого члена, начиная со второго, равен прозведению соседних с ним
членов, то последовательность является геометрической прогрессией.
Это свойство можно обобщить. В геометрической прогрессии, начиная со
второго, квадрат любого члена равен произведению равноудаленных членов
последовательности, то есть bn2 = bn–k · bn+k.
Для геометрической прогрессии
с положительными членами это свойство можно записать в виде:
Свойство 2. В геометрической прогрессии если n + m = k + p, то верно равенство
bn · bm = bk · bp.
Обучающие задания