Исследование. 1) Запишите первые 10 членов какой-либо арифметической прогрессии. Например, при a1 = 4, d = 3 эти члены будут записаны, как показано в таблице.
a1 | a2 | a3 | a4 | a5 | a6 | a7 | a8 | a9 | a10 |
4 | 7 | 10 | 13 | 16 | 19 | 22 | 25 | 28 | 31 |
2) Сравните какой-либо средний член прогрессии со средним арифметическим соседних с ним членов. Получилось ли равенство?
Верны ли равенства? a1+ a10 = a2+ a9 = a3 + a8 = a4+ a7 = a5 + a6
Свойства арифметической прогрессии
Свойство 1. В арифметической прогрессии каждый член кроме первого (и последнего, в случае конечной прогрессии) равен среднему арифиметическому соседним с ним членов.
Дейстивительно, из d = a2 - a1 = a3 - a2 получается a2 = a1 + a3
2
Так как в общем случае, an - an-1 = an+1 - an, то верно равенство:
an = an-1 + an+1
2 (n ≥ 2)
Это свойство можно обобщить таким образом. Каждый член арифметической
прогрессии (начиная со второго) равен среднему арифметическому
равноудаленных от него членов: an = an-k + an+k
2, (1 ≤ k ≤ n – 1)
Верно и обратное. Если любой член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.
Свойство 2. Если для номеров выполняется условие m + k = n + p, то для соответствующих членов верно равенство am + ak = an + ap
Следствие: В конечной арифметической прогрессии сумма членов, расположенных
на одинаковом расстоянии от концов, равна сумме крайних
членов.
a1 + an = a2 + an-1 = a3 +
an-2 = a4 + an - 3 = ......
Обучающие задания
Зная, что данные числа являются последовательными членами арифметической прогрессии, найдите х.
a) 3x - 4; 6; x + 6 b) x - 2; x2; 3x + 2
Для членов арифметической прогрессии ÷ (xn) докажите равенство:
a) x1 + x9 = x4 + x6
b) x3 + x12 = x8 + x7
b) x4 + xn-4 = x6 + xn-6