8-7 |
Движение и конгруэнтные фигуры |
Пусть каждой точке фигуры F противопоставлена определенная точка плоскости. Множество таких точек образует фигуру Fʹ. В этом случае говорят, что фигура Fʹ получена преобразованием фигуры F. Плоскость так же является геометрической фигурой. При преобразовании плоскости произвольная точка переходит в точку этой же плоскости и причем каждая точка преобразуется в определенную точку. Если при преобразовании одной фигуры в другую расстояние между точками сохраняется, то все геометрические свойства фигуры сохраняются и фигура преобразуется в конгруэнтную фигуру. Такие преобразования называются движением. Результат последовательных движений также является движением.
Теорема. При движении отрезок преобразуется в отрезок.
Следствие: При движении каждая сторона треугольника переходит в конгруэнтный отрезок, и поэтому по признаку ССС треугольник преобразуется в конгруэнтный треугольник. При движении прямая переходит в прямую, отрезок в отрезок и угол между полупрямыми сохраняется. При таких преобразованиях как параллельный перенос, центральная симметрия, осевая симметрия, поворот, фигура переходит в конгруэнтную фигуру.
Теорема. Осевая симметрия (отражение) есть движение.
На рисунке изображено отражение отрезка PQ относительно прямой m. По
расположению отрезка PQ и прямой m возможны 4 различных случая.
Докажем теорему для первого случая:
Текстовое доказательство. В этом случае точки P и Q лежат по одну сторону
от прямой m.
Из определения отражения следует, что, так как отрезок RS - серединный перпендикуляр к отрезкам PPʹ и QQʹ, то RQ ≅ RQʹ и ∠QRS ≅ ∠QʹRS, PR ≅ RPʹ, ∠PRQ ≅ ∠PʹRQʹ. Тогда по признаку СУС ΔRQP ≅ ΔRQʹPʹ. Так как у конгруэнтных треугольников соответственные стороны конгруэнтны, то PQ ≅ PʹQʹ. Теорема доказана.