Центр правильного многоугольника. Центр окружности, описанной около
правильного многоугольника или вписанной в него, называется центром
правильного многоугольника. Центр правильного многоугольника находится
на одинаковом расстоянии от всех вершин и всех сторон многоугольника.
Апофема правильного многоугольника. Перпендикуляр, проведенный из
центра многоугольника к его стороне, называется апофемой.
Апофема правильного многоугольника равна радиусу вписанной окружности.
Выполните следующее упражнение по шагам и выведите формулу зависимости
площади правильного многоугольника от апофемы.
Практическая работа
Апофема и площадь многоугольника
1. Нарисуйте правильный пятиугольник ABCDE.
2. Из центра O проведите перпендикуляр (h), делящий
сторону AE (AE = a) пополам.
3. Соедините точки A и E с центром O.
4. Выразите площадь треугольника AOE переменными a
и h. Обратите внимание, какому измерению многоугольника
соответствует высота треугольника.
5. Соедините точки B, C, D с точкой O. Сравните площади
полученных треугольников.
6. Обратите внимание на то, что площадь пятиугольника
равна сумме площадей этих треугольников.
Площадь пятиугольника:
S = 1
2 ah + 1
2ah + 1
2ah + 1
2ah + 1
2ah
=
= 1
2(ah + ah + ah + ah + ah) = 1
2 ⋅ 5ah
7. Какому измерению соответствует выражение 5a? Выразите площадь пятиугольника через его периметр.
6-3 |
Площадь правильного многоугольника |
Соединив центр правильного n-угольника
с вершинами, получится n‐е количество
равнобедренных конгруэнтных треугольников.
Площадь правильного многоугольника = количеству треугольников x
площадь одного треугольника.
S = n ⋅ 1
2 ah = 1
2 (a ⋅ n)h
S = 1
2 Ph или S = 1
2 anh
Здесь S -площадь, P ‐периметр, a ‐ длина стороны многоугольника, n -число сторон, h ‐апофема.