5-3 |
Уравнения с модулем |
По определению абсолютной величины:
Исходя из этого, при решении уравнений, содержащих переменную под
знаком модуль, рассматривается два случая.
1-й случай. Выражение под знаком модуля положительное или равно нулю.
2-й случай. Выражения под знаком модуля отрицательное.
1. Пример. Решите уравнение. |3x- 2| + 11 = 5.
Решение. В левой части равенства напишем только выражение со знаком
модуля.
|3x - 2| = 5 -11; |3x - 2| = -6. Это противоречит определению модуля,
так как модуль числа должен быть не отрицательным.
Уравнение не имеет корней. Ответ: ∅
2. Пример. Решите уравнение |x- 3| = 6 двумя способами: алгебраически
и графически.
Алгебраический метод.
По определению абсолютной величины, x - 3 равно 6, или же -6
Если x - 3 = 6, то x = 9.
Если x - 3 = -6, то x = -3
Проверка.
x = 9, |9- 3| = 6; 6 = 6
x = -3, |-3- 3| = 6; |-6| = 6; 6 = 6
Ответ: {9; -3}
Графический метод.
На одной координатной системе построим
график функций f(x) = |x - 3|
и g(x) = 6. Точками пересечений этих графиков
являются
(-3; 6) и (9; 6).
Значения х = -3 и х = 9 являются корнями
уравнения.
3. Пример. Решите уравнение |x2 - 2x| = 3.
Решение. x2 - 2x равно или 3, или же -3
I случай. x2 - 2x = 3 x2 - 2x - 3 = 0; (x - 3)(x + 1) = 0 x1 = 3 или x2 = -1
Проверка: x = 3: |x2 - 2x| = 3; |32 - 2⋅3| = 3; |3| = 3; 3 = 3.
x = -1: |x2 - 2x| = 3; |(-1)2 - 2⋅(-1 )| = 3; |3| = 3; 3 = 3 .
II случай. x2 - 2x = -3; x2 - 2x + 3 = 0
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение в этом случае
корней не имеет.
Ответ: {-1; 3}