Рашид Бейбутов родился в 1915 году в городе Тифлисе. Семья Бейбутовых, пожив некоторое время в Тифлисе, в 1943 году переехала в Азербайджан. В 1944 году в Баку в «Доме офицеров» великий Узеир Гаджибейли слушал в исполнении молодого Рашида арию Аскера из оперетты «Аршин мал алан», после чего поручил Рашиду Бейбутову сыграть роль Аскера в одноименном фильме.
На протяжении своего 55-летнего творческого пути он выступил с концертными программами в самых различных уголках мира. Последние его концерты прошли в 1988 году в Турции и Индии.
В 1946 году за роль Аскера, исполненную в фильме «Аршин мал алан», Рашид Бейбутов был удостоен звания лауреата Государственной премии и в том же году ему было присвоено звание заслуженного артиста Азербайджана, в 1951 году он удостаивается почетного звания народного артиста Азербайджана, а в 1959 году - народного артиста СССР. В 1980 году ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда с присуждением ордена Красной Звезды и ордена Ленина, а в 1986 году он удостоился почетного звания заслуженного деятеля искусств Грузинской Республики.
Рашид Бейбутов также прославился как оперный солист. В опере «Севиль» Фикрета Амирова им была исполнена роль Балаша.